Der Satz des Pythagoras
Bestimmt hast du schon von ihm gehört – dem Satz des Pythagoras. Dieser Lehrsatz ist wohl eines der bekanntesten mathematischen Konzepte und wird überall verwendet. In diesem Artikel erklären wir dir, was der Satz des Pythagoras bedeutet und wie er angewandt werden kann.
Der Satz des Pythagoras: Die Formel
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Seitenlängen gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse ist. Er ist also nur auf rechtwinklige Dreiecke anwendbar.
Die Abbildung links zeigt ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seiten a und b als rechtwinklige Seiten bezeichnet werden, da sie an den rechten Winkel des Dreiecks angrenzen. Die Seite c ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Das kleine Quadrat im Winkel C zeigt an, dass es sich um einen rechten Winkel (90-Grad-Winkel) handelt.
Der obige Satz kann in der unten stehenden Formel ausgedrückt werden, die das Verhältnis zwischen den Längen der Seiten des Dreiecks wie folgt beschreibt:
a² + b² = c²
Mit dieser Formel kann die Länge einer Seite berechnet werden, solang die Längen der anderen beiden Seiten bekannt sind. Wenn eine Zeichnung eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben ist, musst du herausfinden, welches die rechtwinkligen Seiten (in diesem Beispiel die Seiten a und b) sind und welche Seite die Hypotenuse (in diesem Beispiel die Seite c) ist.
Anwendung des Satzes des Pythagoras
Gegeben ist das linke Dreieck ABC, von dem die Längen von zwei der drei Seiten bekannt sind. Anhand des rechten Winkels C siehst du, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Das bedeutet, dass der Satz des Pythagoras hier angewandt werden kann.
Zudem kannst du sehen, dass die Längen der beiden an den rechten Winkel C angrenzenden Seiten bekannt sind. Mit diesen Werten können wir die Länge der Hypotenuse berechnen, indem wir den Satz des Pythagoras anwenden.
Die Länge der Hypotenuse im Quadrat (c²) entspricht also der Summe der Quadrate der bekannten Längen (a² + b²):
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich, dass die Länge der Hypotenuse zum Quadrat 25 ist. Das bedeutet, dass die Hypotenuse eine Länge hat, die der Wurzel aus 25 entspricht. Zieht man die Wurzel aus 25, so erhält man den Wert 5 – dies ist die Länge der Hypotenuse.
Zusammenfassung
Mit dem Satz des Pythagoras kann mithilfe von zwei bekannten Seitenlängen die unbekannte Länge berechnet werden. Dabei ist es wichtig zu überprüfen, dass das Dreieck ein rechtwinkliges ist. Zudem musst du bestimmen, welche Seiten die rechtwinkligen sind und welche die Hypotenuse ist.
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